Родился в 1908 году. С 14 лет принимал активное участие в комсомольской работе.
В 1935 году окончил РИИЖТ, получив диплом инженера-механика паровозного хозяйства. Затем учился в аспирантуре, после окончания которой был распределён на Кировскую железную дорогу в должности начальника политотдела магистрали.
В мае 1938 года Алексей Нецветай в возрасте 30 лет стал самым молодым начальником Азово-Черноморской железной дороги им. Ворошилова (так тогда называлась северо-восточная часть СКЖД).
Под руководством Нецветая в 1938 году дорога перевезла народнохозяйственных грузов в три раза больше, чем в 1913 (стандартная точка отчета для тех лет). Год спустя здесь было проведено 800 тяжеловесных поездов и дополнительно перевезено 250 тыс. тонн груза. По результатам работы в 1939 году ряд железнодорожников был удостоен государственных наград, в их числе Орденом Красного Знамени был награжден и Алексей Нецветай.
Неожиданное появление врага в Ростове-на-Дону в ноябре 1941 года и ожесточенный бой на железнодорожной станции стали причиной гибели Алексея Нецветая.
На утро 20 ноября была назначена эвакуация аппарата Управления дороги и Ростовского узла в Армавир. Состав с прицепленным паровозом стоял перед мостом через Дон. После того как состав был сформирован, ответственный работник позвонил Нецветаю и доложил обстановку.
Алексей Игнатьевич выехал на вокзал, чтобы разобраться в ситуации и ускорить отправку эшелонов. Не доезжая до вокзала, машина, в которой находился Алексей Нецветай, была остановлена людьми в советской форме, оказавшимися переодетыми немцами. Увидев на гимнастерке Нецветая орден, немцы толкнули его к стене и сразу же расстреляли.
Тело Алексея Игнатьевича было похоронено после освобождения города, спустя десять дней после расстрела, в сквере у здания Управления дороги. Посмертно, в 1942 году, он был награжден Орденом Ленина. Сегодня его прах покоится на Армянском кладбище города.
